Question

Через S(n) обозначим сумму цифр в десятичной записи натурального числа n. Например, S(12345)=15. Найди сумму всех натуральных чисел n, для которых выполняется равенство n⋅S(n)=648.

Answer 1

Ответ:

72

Пошаговое объяснение:

Итак, S(n) - сумма цифр в десятичной записи натурального числа n,

Очевидно, что т.к. n - натуральное, то и S(n) - натуральное.

Попробуем понять, что конкретно представляют собой эти n и S(n)

${n}\cdot{S(n)}=648$

Т.к. n - натуральное => S(n) - тоже натуральное

можно видеть, что

n, иS(n) - оба одновременно являются множителями, на которое раскладывается число 648,

причем на эти 2 множителя 648 и раскладывается, т.е

$S(n) = \frac{648}{n} ; \: \: \: \: \{S(n);\; n\} \in {N}$

Разобьем 648 на множители. Получим:

$648 = {2}^{3} \times 3^{4}$

Очевидно, n однохначным быть не может, ибо тогда

Sn = n => max (Sn•n) = 9² =81

2²=4, 2³=8, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81

Рассмотрим варианты, как можно группировать эти множители (их немного):

$\small \: n = 2\cdot 3^2 = 18; S(n) = 9;\: n\cdot {S(n)} \neq 648\\n = 2\cdot 3^3 = 54; \: \: S(n) = 9;\: \: n{ \cdot } {S(n)} \neq 648\\n = 2\cdot3^4 = 162; \: \: S(n) = 9;\: \: n{ \cdot } {S(n)} \neq 648\\ \\ n=4\cdot3 = 12 ; \: \: S(n) = 3;\: \: n{ \cdot } {S(n)} \neq 648\: \: \: \: \\n=4\cdot9 = 36; \: \: S(n) = 9;\: \: n{ \cdot } {S(n)} \neq 648 \: \: \: \: \\n=4\cdot27 = 108; \: \: S(n) = 9;\: \: n{ \cdot } {S(n)} \neq 648\\n=4\cdot81 = 324 ; \: \: S(n) = 9;\: \: n{ \cdot } {S(n)} \neq 648\\ \\ n=8\cdot3 = 24; \: \: S(n) = 6;\: \: n{ \cdot } {S(n)} \neq 648 \: \: \: \\ \boxed {\bold{n=8{\cdot}9 = 72; \: \: S(n){ =} 9;\: \: n{ \cdot } {S(n)} = 648 }}\: \: \: \\n=8\cdot27 = 216; \: \: S(n) = 9;\: \: n{ \cdot } {S(n)} \neq 648 \: \\ n=8\cdot81 = 648; \: \: S(n) = 18;\: \: n{ \cdot } {S(n)} \neq 648$

Значит, существует Единственная такая пара чисел

n = 72; и S(n) = 9

А сумма всех натуральных чисел n, для которых выполняется равенство n⋅S(n)=648

равна 72

72 - это и есть ответ