Question

На уроке математики Наташа заметила что разность квадратов последовательно идущих простых чисел равна 360.Что это за числа.

Answer 1

………… …………. ……… …… …..

Answer 2

Ответ: $47$ и $43$

Пошаговое объяснение:

Пусть $p_{1}$ и $p_{2}$ простые числа.

$p_{1}^2 - p_{2} ^2 = 360\\(p_{1} - p_{2} )(p_{1} +p_{2} ) = 360$

Cразу отметаем вариант, что одно из них может быть равно $2$, ибо соседнее с простым числом $2$ это число $3$, что нас не устраивает.

Тогда числа $p_{1}$ и $p_{2}$ являются нечетными и дают при делении на $3$ либо одинаковый остаток $1$ или $2$($1-1 = 2-2 = 0$), либо дают разные остатки $1$ и $2$ ($1+2 = 3$), иначе говоря, если они дают одинаковый остаток, то $p_{1} +p_{2}$ не делится на $3$, а $p_{1} -p_{2}$ делится на $3$. Если же разный остаток, то наоборот  $p_{1} +p_{2}$ делится на $3$, а $p_{1} -p_{2}$ не делится на $3$. Таким образом, делитель $9$ попадает ровно одному из множителей:  $p_{1} +p_{2}$ или $p_{1} -p_{2}$ (разбиение по тройкам исключено).

Как было показано выше: $p_{1}$ и $p_{2}$ нечетны, то есть:

$p_{1} =2n+1\\p_{2} = 2m+1\\(2(n-m))(2(n+m)+2) = 360\\(n-m)(n+m+1) = 90 = 9*5*2$

Нам нужно проверить все разбиения: ($a,b$ - натуральные числа, $a*b = 90$):

$n-m = b\\n+m+1 = a\\a > b\\p_{1} = 2n+1 = a+b\\p_{2} = 2m+1 = a-b$

Положим, что $b$ имеет делитель $9$ и $b > 9$ (то есть как минимум $b > =2*9 = 18$), но тогда  $a < = 5 < 18 < =b$, что нас не устраивает.

Остается один вариант:

$a = 10\\b = 9\\p_{2} = 10 - 9 = 1$

Не подходит, ибо $1$ число не простое.

Таким образом, множитель $9$ неизбежно улетает к $a$.

Поскольку $a > b$, то $a = 9; b = 10$ невозможный вариант.

Остается проверить $3$ варианта:

1.

$a = 90\\b = 1\\p_{1} = 90 + 1 = 91$

Не подходит, ибо $91=7*13$ составное число.

2.

$a = 9*2 = 18\\b = 5\\p_{1} = 18+5 = 23\\p_{2} = 18 - 5 = 13$

Числа $13$ и $23$, хоть и являются простыми числами, но они не являются последовательно идущими простыми числами, ибо между ними есть, к примеру, простое число $17$.

3.

$a = 9*5 = 45\\b = 2\\p_{1} = 45 + 2 = 47\\p_{2} = 45 - 2 = 43$

А вот данные два простых числа уже являются соседними, другими словами, между ними нет простых чисел.

Данные числа и будут являться ответом (других пар, как было показано выше, нет).

Можно сделать проверку и убедится, что это так:

$47^2 - 43^2 = (47-43)*(47+43) = 4*90 = 360$