Question

Одна сторона треугольника в 2 раза больше другой, а угол между ними равен 60 градусам. Найти меньший из углов треугольника.

Answer 1

Пусть АВ = х, тогда АС = 2х.

Найдем третью сторону треугольника.

Согласно теореме косинусов:

$\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB\cdot AC \cdot cos \angle A = x^2 + (2x)^2 - 2 \cdot x \cdot 2x \cdot cos 60 \textdegree = x^2 + 4x^2 - 4x^2 \cdot \frac{1}{2} = 5x^2 - 2x^2 = 3x^2.$$BC = \sqrt{3x^2}=x\sqrt{3} .$      

В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол.

$x\sqrt{3} \approx 1,73x$.

x < $1,73x$ < 2х, поэтому меньшим углом является ∠C.

Согласно теореме косинусов:

$\displaystyle AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2\cdot BC\cdot AC \cdot cos \angle C$

Выразим отсюда cos ∠C:

$2\cdot BC\cdot AC \cdot cos \angle C = BC^2 + AC^2 - AB^2$;

$\displaystyle cos \angle C = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2\cdot BC\cdot AC}$.

Подставим длины сторон:

$\displaystyle cos \angle C = \frac{3x^2 + (2x)^2 - x^2}{2\cdot x\sqrt{3}\cdot 2x} = \frac{3x^2+4x^2-x^2}{4x^2\cdot \sqrt{3} }=\frac{6x^2}{4x^2\cdot \sqrt{3}}= \frac{3}{2\sqrt{3} } .$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\displaystyle cos \angle C = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} }{6}=\frac{\sqrt{3} }{2}$.

Такой косинус имеет угол 30°.

Значит, ∠C = 30°.

Ответ: 30°.