Question

Дан треугольник АВС. AB=BC=20. ВМ(к АС) - высота, АК(к ВС) - биссектриса, их точка пересечения - О. ВО:ОМ=5:2. Найти АС

Answer 1

${}$  Поскольку автор задания написал, что уровень вопроса студенческий, я считаю, что можно использовать факты, выходящие за пределы стандартной школьной программы.

Поскольку треугольник равнобедренный, BM является не только высотой, но и биссектрисой, а тогда O - точка пересечения биссектрис. Поэтому третья биссектриса CN также проходит через точку O.

Поскольку треугольник равнобедренный, BN=BK, NA=KC.

По теорему Ван-Обеля $\dfrac{5}{2}=\dfrac{BO}{OM}=\dfrac{BN}{NA}+\dfrac{BK}{KC}=2\dfrac{BK}{KC}\Rightarrow$

$\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{5}{4}.$

Поскольку AK биссектриса,  $\dfrac{5}{4}=\dfrac{BK}{KC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{20}{AC}\Rightarrow AC=\dfrac{4\cdot 20}{5}=16.$

Ответ: 16