В банке Илья Сергеевич купил 100 монет достоинством 1 доллар, 1 евро и 1 фунт стерлингов. Цена монет на день покупки составляла: 1 доллар — 32 р., 1 евро — 40 р., 1 фунт стерлингов — 50 р. За всю покупку Илья Сергеевич заплатил 3930 р. Какое максимальное количество долларов могло быть куплено в этот день?
Ответы
Ответ:
Максимальное количество долларов составляло - 55 монет.
Пошаговое объяснение:
Какое максимальное количество долларов могло быть куплено в этот день?
Пусть куплено долларов - х, евро - у, фунтов - z .
По условию всего монет 100, получим уравнение :
х + у + z = 100
Цена монет на день покупки составляла: 1 доллар — 32 р., 1 евро — 40 р., 1 фунт стерлингов — 50 р. и вся покупка составила 3930 р.
Получаем, что за доллары заплатили 32х р., за евро - 40у р., за фунты - 50z р. Составим уравнение:
32х+40у +50z =3930
Мы получили систему уравнений :
Из первого уравнения выразим у , а во втором уравнении разделим на 2 правую и левую части:
Подставим значение у из первого уравнения , во второе:
16х+20(100–х–z)+25z =1965
16х + 2000 -20х -20z+25z = 1965
4x-5z =35
4x = 35 +5z
4x = 5*( 7 + z )
Множители 5 и 4 – взаимно простые числа ,значит
( 7+z ) должно делиться на 4, это возможно, когда z при делении на 4 даст остаток 1 .
4x= 35 + 5z ( 1 )
Из уравнения видим , что максимальное количество х будет равно максимальному количеству z.
у = 100 - х - z и это больше, либо равно 0, поскольку нам подходит только натуральное число. Тогда
400 -4х -4z ≥ 0
вместо значения 4х подставим 35 + 5z :
400 - 35 - 5z - 4z ≥ 0
- 9z ≥ - 365
9z ≤ 365
z ≤ 40,(5)
Но z должно быть целым числом и при делении на 4 , должно дать остаток 1 . Наибольшее число кратное 4 это 36, а искомое значение z= 37 соответственно.
Подставим это в уравнение ( 1) и найдем количество долларов :
4х = 35 +5* 37
4х = 35 + 185
4х = 220
х = 220 : 4
х = 55
Максимальное количество долларов составляло - 55 монет.