Question

Вычислить определённый интеграл

​

Answer 1

$\int\limits^a_b {((x+cosx)/(x^{2} +2sinx)} \, dx =$  $\int\limits^a_b {2(x+cosx)/2(x^2+2sinx)} \, dx$

Делаем замекну переменной и пересчитываем пределы интегрирования.

x^2+2sinx=t

dt=(2x+2cosx)dx=2(x+cosx)dx

нижний предел tн=П²;  tв=4П²

$\int\limits^a_b {1/2t} \, dt = 1/2 ln|t| \left \{ {{t=4\pi ^{2} } \atop {t=\pi ^{2} }} \right.$

=(1/2)[ln4П^2-lnП^2]=1/2[ln(4П^2/П^2)]=1/2*(ln4)=(1/2)ln(2^2)

=(1/2)*2ln2=ln2

Использованы свойства логарифма

lna^b=blna

lna-lnb=ln(a/b)