Question

во внутрь прямоугольной трапеции с основанием 4 и 12 вписана окружность.Найдите радиус окружности и площадь трапеции

Answer 1

Ответ:

3 единицы
48 единиц²

Объяснение:

По условию

AC = 12

DE = 4

1.

EB - высота трапеции, и

BC = 12-4 = 8

2.

Окружность может быть вписана в трапецию только если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон

AC + DE = AD + CE

12 + 4 = 2r + EC

EC = 16 - 2r

3.

Запишем теорему Пифагора для треугольника EBC

EB² + BC² = EC²

4r² + 8² = (16 - 2r)²

4r² + 64 = 256 - 64r + 4r²

64 = 256 - 64r

1 = 4 - r

r = 3

4.

Площадь трапеции

S = 1/2*(AC + DE)*BE = 1/2*(4+12)*2*3 = 16*3 = 48 ед²

Answer 2

Ответ:

Радиус окружности: r = 3

Площадь трапеции: S = 48

Поскольку окружность c радиусом r вписана в прямоугольную трапецию ABCD, то высота трапеции (она же меньшая боковая сторона):

AS = BC = 2r

SABC - прямоугольник, откуда:

SC = AB = 4

DS = DC - SC = 12 - 4 = 8

Поскольку в трапецию вписана окружность, то суммы противолежащих сторон трапеции равны:

AD + BC = AB + DC

AD +2r = 4 + 12

AD = 16 - 2r

С другой стороны, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DSA:

AD^2 = DS^2 + AS^2 = 8^2 +(2r)^2 = 64 + 4r^2

Откуда получаем равенство:

(16-2r)^2 =  64 + 4r^2

256 -64r +4r^2 = 64 + 4r^2

64r = 192

r = 3

Высота трапеции:

h = 2r = 6

Площадь трапеции:

S = 0.5*(4+12)*6 = 48