Question

дана функция: a) запишите уравнение вертикальной асимптоты. b) с помощью выделения целой части, найдите уравнение наклонной асимптоты. c) используя, предел, покажите, что вы верно нашли наклонную асимптоту (степень исправлена, так должно быть)​

Answer 1

Ответ:

Смотрите ответы в решении

Объяснение:

$y(x)=\frac{x^3}{3x^2+4}$

а) Уравнение вертикальной асимптоты.

У функции нет вертикальной асимптоты, потому что знаменатель:

3x^2 + 4 ≠ 0 ни при каком x.

б) Выделение целой части:

$\frac{x^3}{3x^2+4}=\frac{1}{3}*\frac{3x^3}{3x^2+4} =\frac{1}{3}*\frac{3x^3+4x-4x}{3x^2+4} =\frac{1}{3}*\frac{x(3x^2+4)-4x}{3x^2+4}=\frac{1}{3}(x-\frac{4x}{3x^2+4} )$

Наклонная асимптота: f(x) = x/3

в) Вычисление наклонной асимптоты через пределы:

Обозначим уравнение наклонной асимптоты:

f(x) = kx + b

Здесь:

$k= \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{3x^2+4}=\frac{1}{3}$

$b= \lim_{x \to \infty} (f(x)-kx)=\lim_{x \to \infty} (\frac{x^3}{3x^2+4} -\frac{x}{3} )=\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3-x(3x^2+4)}{3(3x^2+4)} =$

$=\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3-3x^3-4x}{9x^2+12} = \lim_{x \to \infty} \frac{-4x}{9x^2+12} =0$

Уравнение наклонной асимптоты:

f(x) = kx + b = x/3 + 0 = x/3