Question

Из Ярославля в Рыбинск отправился поезд с пассажирами. По пути он останавливался на 6 станциях, на которых в поезд никто не садился, зато выходила третья часть пассажиров. После всех этих станций поезд доехал до Рыбинска, где из него вышли все оставшиеся пассажиры — их было меньше 100. А сколько пассажиров село в поезд в Ярославле?

Answer 1

Ответ:

В Ярославле сели в поезд 729 пассажиров.

Объяснение:

Определить количество пассажиров, которые сели в поезд в Ярославле, если на каждой из следующих шести станций пассажиры не входили, а выходила третья часть пассажиров, в Рыбинске вышли оставшиеся пассажиры  - их было меньше 100.

1) Допустим в Ярославле в поезд сели x пассажиров (x > 0).

На 1-ой станции вышли  $\displaystyle \frac {x}{3}$ пассажиров, остались $\displaystyle \frac {2x}{3} = x \cdot \bigg ( \frac{2}{3} \bigg)^{1}$  пассажиров.
На 2-ой станции вышли $\displaystyle \frac {2x}{9}$ пассажиров, остались  $\displaystyle \frac {4x}{9}$  пассажиров:

$\displaystyle \frac {2x}{3}-\frac{2x}{9} =\frac{6x}{9} -\frac{2x}{9} =\frac{4x}{9}=x \cdot \bigg(\frac{2}{3} \bigg)^{2}$

Если продолжим вычислять количество оставшихся пассажиров, то увидим закономерность: на каждой из шести станций остается количество пассажиров, равное
$\displaystyle x \cdot \bigg(\frac{2}{3} \bigg)^{n}$,

где целое число n - совпадает с номером станции.

2) Тогда на шестой станции после выхода трети пассажиров останется пассажиров:
$\displaystyle x \cdot \bigg(\frac{2}{3} \bigg)^{6}$ и эти оставшиеся пассажиры доедут до Рыбинска и выйдут из поезда все.
Значит их меньше 100.

3) Оценим первоначальное количество пассажиров x.

$\displaystyle x \cdot \bigg(\frac{2}{3} \bigg)^{6} < 100;\\\\\\x < \frac{100 \cdot 3^{6}}{2^{6}}$

$\displaystyle \frac{100 \cdot 3^{6}}{2^{6}} = \frac{100 \cdot 729}{64} = 1139,0625$

Число пассажиров x - это целое число, тогда

x ≤ 1139.

4) Так как на каждой станции выходила третья часть пассажиров, то общее число пассажиров кратно 3⁶ = 729.

729 · 2 = 1458,

1458 > 1139.

Значит в Ярославле сели в поезд 729 пассажиров.

Проверим.
На 6-ой станции остались:

$\displaystyle x \cdot \bigg(\frac{2}{3} \bigg)^{6} = \frac{729 \cdot 64}{729} =64$ (пассажира).

На 6-той станции остались 64 пассажира, которые вышли в Рыбинске. Их было меньше 100.