Question

Запишите условие того, что число a не является пределом последовательности xn . Пользуясь этим определением, покажите, что 1 не является пределом xn, где xn=(1+((-1)^N))/2

Answer 1

Пишем само определение:

$\forall \varepsilon>0 \exists N(\varepsilon)>0: \forall n\geq N => |x_n-a| < \varepsilon$

Отрицаем его:

$\exists \varepsilon>0 \forall N>0 \exists n\geq N => |x_n - a| \geq \varepsilon$

$x_n = \frac{(1 + (-1)^N)}{2}$

Покажем, что выполнено отрицание:

$|\frac{(1 + (-1)^N)}{2} - 1 | = |\frac{(-1 + (-1)^N)}{2}| = |\frac{(1 + (-1)^{N-1})}{2}|$

Существует эпсилон, равный, например 1/2, такой, что для любого числа N существует n (которое достаточно взять чётным, большим N), что модуль разности (равный 1) больше или равен выбранного эпсилон. Это и есть отрицание определения предела