Question

имеем последовательность (xn)...​

Answer 1

Ответ:

1

Объяснение:

Преобразуем равенство:

$x_{n+1}\cdot \left(x_n-\dfrac{2}{x_{n-1}}\right)=2-\dfrac{4}{x_n x_{n-1}}\\ x_{n+1}\cdot \left(x_n-\dfrac{2}{x_{n-1}}\right)=\dfrac{2}{x_n}\cdot \left(x_n-\dfrac{2}{x_{n-1}}\right)$

Т.е. $\forall n\in N$ выполнено хотя бы одно из равенств: либо $x_{n+1}=\dfrac{2}{x_n}$, либо $x_{n}=\dfrac{2}{x_{n-1}}$.
Заметим, что одновременно они выполняться не могут, ведь тогда $x_{n+1}=x_{n-1}$ - противоречие с тем, что все члены посл-ти различны.

Значит, $\forall n\in N$ выполнено ровно одно из равенств.

В случае $n=1$ второе равенство примет вид $x_{1}=\dfrac{2}{x_{0}}\Leftrightarrow x_1=\sqrt{2}\Rightarrow x_0=x_1$ - противоречие с тем, что все члены посл-ти различны. Значит для $n=1$ верно первое равенство, и$x_{2}=\dfrac{2}{x_1}\Rightarrow x_1x_2=2$.

Также заметим, что для двух последовательных индексов верны различные равенства, ведь иначе, в первом случае, $x_{n+2}=\dfrac{2}{x_{n+1}}=x_n$, а во втором $x_{n+1}=\dfrac{2}{x_{n}}=x_{n-1}$ - в обоих случаях противоречие с тем, что все члены посл-ти различны.

В совокупности, это означает, что $\forall k\in N :x_{2k-1}\cdot x_{2k}=2$, откуда однозначно $x_1\cdot ...\cdot x_{2016}=(x_1x_2)\cdot ...\cdot (x_{2015}x_{2016})=2^{1008}$, т.е. принимает одно значение, если такая последовательность вообще существует.

Легко привести пример такой последовательности:

$a_0=\sqrt{2},a_{2k-1}=2k-1, a_{2k}=\dfrac{2}{2k-1}\;\forall k \in N$, т.е. $\sqrt{2};1;2;3;\dfrac{2}{3};...$ - $a_0$ - единственный иррациональный член, на нечетных местах стоят нечетные натуральные числа, равные номеру места, а на четных - дробь с числителем 2 и знаменателем, содержащим нечетное число, равное номеру предыдущего члена - т.е. между собой члены с четными номерами также различны, а их значение не может оказаться равным какому-либо из нечетных чисел, занятых нечетными членами.