Question

Помогите Вычислить предел. Нужен подробный ответ. (В том числе и сокращения)

Answer 1

Разделим числитель и знаменатель на $n^2$, обозначив для удобства $\dfrac{m}{n}=t$:

$\lim\limits_{x\to t}\dfrac{x^2+(1-t)x-t}{kx^2-(k+1)tx+t^2}=\lim\limits_{x\to t}\dfrac{x(x+1)-t(x+1)}{kx(x-t)-t(x-t)}=\lim\limits_{x\to t}\dfrac{(x-t)(x+1)}{(kx-t)(x-t)}=\\ =\lim\limits_{x\to t}\dfrac{x+1}{kx-t}=(*)$

Далее возможны варианты.

1) $k=1$. Тогда $(*)=\lim\limits_{x\to t}\dfrac{x+1}{x-t}=(**)$.

1.1) Если при этом $t=-1\Leftrightarrow m=-n,n\neq 0$, то $(**)=\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x+1}{x+1}=1$.

1.2) Если при этом $t\neq -1\Leftrightarrow m\neq-n,n\neq 0$, то $(**)=[(t+1)/0]=\infty$

2) $k\neq 1$.

2.1) Если при этом $t=0\Leftrightarrow m=0,n\neq 0$, то $(*)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x+1}{kx}=[1/0]=\infty$.
!!! При этом также $k\neq 0$, т.к. при этом наборе значений исходная функция не определена. !!!

2.2) Если при этом $t\neq 0\Leftrightarrow m\neq 0,n\neq 0$, то $(*)=\dfrac{t+1}{kt-t}=\dfrac{t+1}{(k-1)t}$.

Варианты с равенством параметров $\infty$, учитывая формат условия, не рассматривались