Question

1) Основание прямой призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, АВ=АС=20, ВС=30. Высота призмы равна 22. На высоте АА1 взята точка F, такая что AF : FА1 = 8:3. Найдите угол между плоскостями А1В1С1 и ВСF. Пожалуйста с решением и рисунком, умоляю

Answer 1

Ответ:

$\alpha =arctg \dfrac{16\sqrt{7}}{35}$

Объяснение:

Плоскости оснований призмы параллельны, значит плоскость (BCF) образует с плоскостями оснований равные углы.

Пусть Н - середина ВС.

СН = 0,5ВС = 0,5 ·  30 = 15

АН - медиана и высота равнобедренного треугольника АВС,

АН⊥ВС.

АН - проекция FH на (АВС), значит FH⊥BC по теореме о трех перпендикулярах, значит

∠FHA = α - линейный угол двугранного угла между плоскостями (BCF)  и (АВС) - искомый.

ΔАНС: ∠АНС = 90°, по теореме Пифагора

  АН = √(АС² - СН²) = √(20² - 15²) = √((20 - 15)(20 + 15)) = √(5 · 35) = 5√7

AF : FA₁ = 8 : 3, значит

$FA=\dfrac{8}{11}AA_1 = \dfrac{8}{11}\cdot 22=16$

ΔFHA:  ∠FAH = 90°

$tg\; \alpha =\dfrac{FA}{AH}=\dfrac{16}{5\sqrt{7}}=\dfrac{16\sqrt{7}}{35}$$tg\; \alpha =\dfrac{FA}{AH}=\dfrac{16}{5\sqrt{7}}=\dfrac{16\sqrt{7}}{35}$

$\alpha =arctg \dfrac{16\sqrt{7}}{35}$