Question

2. В треугольнике гипотенуза равна 25, а площадь равна 84. Найти , отрезки, на которые Высота, проведённая из вершины прямого угла, разделила гипотенузу.​

Answer 1

Ответ:

Меньший из отрезков,  на которые высота, проведённая из вершины прямого угла, разделила гипотенузу, НВ равен 1,96 ед., больший отрезок АН равен 23,04 ед.

Пошаговое объяснение:

Требуется найти отрезки, на которые высота, проведённая из вершины прямого угла, разделила гипотенузу.​

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

АВ = 25;

S = 84.

Найти: АН; НВ.

Решение:

1. Найдем высоту СН.

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Выразим площадь треугольника:

$\displaystyle S = \frac{1}{2} AB\cdot{CH}$

$\displaystyle 84 = \frac{1}{2}\cdot25\cdot{CH }\;\;\;|\cdot2\\\\168 = 25 \cdot{CH}\;\;\;|:25\\\\CH=6,72$

Высота СН равна 6,72 ед.

2. Найдем АН и НВ.

Вспомним метрические соотношения в прямоугольном треугольнике:

• Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

Пусть АН = х, тогда НВ = 25 - х.

СН² = АН · ВН

6,72² = х · (25 - х)

45,1584 = 25х - х²

х²- 25х + 45,1584 = 0

Решим квадратное уравнение.

D = 625 - 4 · 45,1584 = 444,3664

√D = √444,3664 = 21,08

$\displaystyle x_1=\frac{25+21,08}{2}=23,04\\ \\x_2=\frac{25-21.08}{2}=1,96$

Получили меньший отрезок НВ = 1,96 ед., больший АН = (25 - 1,96) = 23,04 (ед.)