Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ

2.Решить задачу:


Высота равнобедренного треугольника, опущенного на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений

двух других его сторон.

Answer 1

Объяснение:

Пусть AD — вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, опу­щен­ная на его ос­но­ва­ние BC, O — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, P — точка ее ка­са­ния с бо­ко­вой сто­ро­ной AB.

Тогда

AO=AP минус OP=9 минус 4=5.

Обо­зна­чим ∠BAD = α. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

синус альфа = дробь: чис­ли­тель: OP, зна­ме­на­тель: OA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Тогда ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , \operatorname тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , AP=AO ко­си­нус альфа =5 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =3, BP=BD=AD умно­жить на \operatorname тан­генс альфа =9 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =12.

Пусть окруж­ность с цен­тром O1 и ра­ди­у­сом r1 ка­са­ет­ся про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон AB и AC в точ­ках F и G со­от­вет­ствен­но, а также ос­но­ва­ния BC. Тогда D — точка ка­са­ния, по­это­му

BF=BD=12,AF=AP плюс PB плюс BF=3 плюс 12 плюс 12=27.

Сле­до­ва­тель­но, Пусть те­перь окруж­ность с цен­тром O2 ра­ди­у­са r2 ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB, про­дол­же­ния ос­но­ва­ния BC в точке Q и про­дол­же­ния бо­ко­вой сто­ро­ны AC в точке K. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му AO2 и AD — бис­сек­три­сы смеж­ных углов BAK и CAB зна­чит, ∠DAO2 = 90°. Тогда ADQO2 — пря­мо­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но, r2 = O2Q = AD = 9. Ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AC и про­дол­же­ний ос­но­ва­ния BC и бо­ко­вой сто­ро­ны AB также равен 9.

Ответ: 9 или 36