Question

Найдите все натуральные числа, которые не могут быть представлены в виде
$\frac{a}{b} + \frac{a + 1}{b + 1}$
где a, b - некоторые натуральные числа.​

Answer 1

Ответ:

Все натуральные $N$ имеющие вид:

$N = 2^i + 2$, где $i$- целое неотрицательное число ($i$ может быть равно $0$)

Отдельный случай (также не может быть представлено в таком виде):

$N = 1$

Пошаговое объяснение:

Допустим, что существует такое натуральное число $N$, что:

$N = \frac{a}{b} + \frac{a+1}{b+1}$

Cразу же отметим частный случай, когда $a = b$:

$N = \frac{a}{a} +\frac{a+1}{a+1} = 2$

То есть, в случае, когда $N = 2$ такое представление возможно.

Рассмотрим теперь основной случай.

$\frac{a}{b} + \frac{a+1}{b+1} = N\\a+b + 2ab = Nb(b+1)$

$N$- натуральное число.

Поскольку правая часть равенства кратна $b$, а слева $2ab + b$ делится на $b$, то  $a$ кратно $b$, а тогда, очевидно, и $a+1$ кратно $b+1$. Отсюда в свою очередь важно отметить, что $N = 1$ в таком виде представить тоже нельзя, ибо раз $a$ кратно $b$, то $\frac{a}{b} >1$.

Таким образом:

$a = nb\\n>2$

$\frac{a+1}{b+1} = \frac{nb+1}{b+1} = n - \frac{n-1}{b+1} \\n-1 = m(b+1)\\n = m(b+1) + 1$

$n,m$ - натуральные числа.

В случае, если $n = 2$:

$\frac{n-1}{b+1} = \frac{1}{b+1}$

В этом случае не существует такого натурального числа $b$, что $n-1 = 1$ кратно $b+1$.

Таким образом, при $n>2$, для числа $N$ должно выполняться такое равенство:

$N = \frac{a}{b} +\frac{a+1}{b+1} = n + n - m = 2n-m = 2m(b+1) +2 -m = 2mb +m + 2 =\\= m(2b+1) +2\\N = m(2b+1) + 2$$N>=3$

Напомним, что $m,b$ - произвольные натуральные числа.

Таким образом, если для $N$ имеет место последнее равенство, то по взятым числам $m,b$ можно восстановить одну из возможных натуральных пар  $a,b$.

Как видим, число $m(2b+1)$ представляет собой натуральное число, имеющее хотя бы один нечетный делитель больший одного.

Допустим, что существует натуральное число $N$ не представимое в таком виде, то есть натуральное число $N - 2$ не имеет нечетных делителей больших чем один. Это возможно только в том случае, когда:

$N-2 = 2^i\\N = 2^i + 2$

$i$ - целое неотрицательное число( $i$ может быть равно $0$).

Также не стоит забывать про отдельное $N = 1$ рассмотренное выше.