Question

М и N — середины сторон ВС и СD параллелограмма АВСD. докажите, что если DМ ┴ АС, то ВN : СD = 3:2.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Рассмотрим Δ ВСD, в котором BN и DM -медианы, т.к.  точки M, N-середины сторон ВС и СD параллелограмма АВСD.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины ⇒

BN ∩ DM=О, О∈ BN ⇒ ВО:ON=2:1, т.е. ON=1/3 ·BN ⇒ BN:ON=3:1

2) Рассмотрим ΔCOD-прямоугольный, т.к. DМ ⊥ АС,⇒ON=1/2 ·CD Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, т.е. точка N-центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника COD ⇒NC=ND=NO=R  

ON=1/2 ·CD

3)  так как BN:ON=3:1, то BN:CD = BN:(2ON)= 3:2 , ч.т.д