Question

Какое число больше
$\sqrt[3]{18} \\ ( \frac{1}{6} ) {}^{ log_{6}2 - \frac{1}{2} log_{ \sqrt{6} }5 }$
​

Answer 1

Ответ:

кубический корень из 18

Объяснение:

Преобразуем второе выражение (то, что пострашнее)
$(\frac{1}{6})^{log_62 - 0.5 * {log_{\sqrt6}5}} = (\frac{1}{6})^{log_62 - log_65} = (\frac{1}{6})^{log_62/5} = 1/(2/5) = 5/2 = 2.5$

А теперь сравниваем cbrt(18) и 2.5
Возводим обе части в куб: 18 и (2.5)^3
(2.5)^3 = (250/100)^3 = (10/4)^3 = (1000/64) = 15,625
Сравниваем 18 и 15,625. Очевидно, 18 больше. Значит, и кубический корень из 18 больше

Answer 2

Ответ:

Число $\sqrt[3]{18}$ больше, чем $(\frac{1}{6} )^{log_62-\frac{1}{2}log_{\sqrt{6} }5 }$

Объяснение:

$(\frac{1}{6} )^{log_62-\frac{1}{2}log_{\sqrt{6} }5 }=6^{-log_62+\frac{1}{2}log_{\sqrt{6} }5 }=6^{-log_62}*6^{\frac{1}{2}log_{\sqrt{6} }5 }=\\\\=(6^{log_62})^{-1}*(6^{\frac{1}{2}*2log_{6}5 })=(2)^{-1}*5=\frac{5}{2}$

Оценим знак разности $\frac{5}{2} -\sqrt[3]{18}$

Для этого воспользуемся формулой a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²), а точнее такой: (a-b)=(a³-b³)/(a²+ab+b²) , где $a=\frac{5}{2} , \ b=\sqrt[3]{18}$ :

$\frac{5}{2} -\sqrt[3]{18} =\frac{\frac{5^3}{2^3}-18}{\frac{5^2}{2^2}+\frac{5}{2}\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{18^2}}$ - в знаменателе стит сумма положительных чисел, значит знаменатель положителен, поэтому знак разности совпадает со знаком разности $\frac{5^3}{2^3} -18=\frac{125}{8} -\frac{18*8}{8} =\frac{125-18*8}{8} =\frac{-19}{8}$

Значит  $\frac{5}{2} -\sqrt[3]{18} <0$

Значит  $\frac{5}{2} <\sqrt[3]{18}$