Question

Решите уравнение:
$x {}^{4} - 3x {}^{3} - 2x {}^{2} - 6x - 8 = 0$
​

Answer 1

Ответ:

x=-1; x = 4

Объяснение:

Корень уравнения бывает среди делителей свободного члена, а значит, можно попробовать брутальный метод: "буду перебирать, пока не получится!"
А делители свободного члена таковы: +-1; +-2; +-4; +-8.
Методом брутального перебора осознаем, что x=-1 является решением: (-1)^4 - 3*(-1) - 2*(-1)^2 - 6*(-1) - 8 = 1 + 3 - 2 + 6 - 8 = 0.
А теперь поделим исходный многочлен на (x-x0), где х0-подобранный корень. Значит, делить нужно на (x+1). Процесс деления прикрепил во вложении.
Результат: x^3-4x^2+2x-8.
А значит, исходный многочлен можно представить в виде (x+1)(x^3-4x^2+2x-8). Хорошего тут не особо много: кубические уравнения решать довольно сложно, а первый корень мы вообще просто угадали. Но ведь можно угадать и второй!
Угадываем корень уравнения x^3-4x^2+2x-8: он, опять же, среди делителей свободного члена, а наши кандидаты все те же: +-1; +-2; +-4; +-8. Методом брутального перебора убеждаемся, что x=4. И снова делим, на этот раз делим x^3-4x^2+2x-8 на (x-4). Все во вложении.
Получаем результат x^2 + 2, и это победа! Наш исходный многочлен можно разложить как (x+1)(x-4)(x^2+2), и все это равно нулю! Третья скобка не имеет решений (на поле действительных чисел), а значит, наш ответ - x=-1; x = 4