Question

Решите уравнение:
$\tan(x) + \cot(x) = 2 \cot(4x)$
​

Answer 1

$tgx=\frac{sinx}{cosx} \\\\cosx\neq 0$              $ctgx=\frac{cosx}{sinx}\\\\sinx\neq 0$             $ctg4x=\frac{cos4x}{sin4x}\\\\sin4x\neq 0$

Уравнение:

$\frac{sinx}{cosx} +\frac{cosx}{sinx} =2\frac{cos4x}{sin4x}$

$\frac{sin^2x+cos^2x}{cosx\cdot sinx} =2\frac{cos4x}{sin4x}$

Применяем формулы

$sin^2x+cos^2x=1$

$cos2\alpha =2cos^2\alpha -1\Rightarrow cos4x =cos^22x -sin^22x$

$sin2x=2sin\alpha \cdot cos\alpha \Rightarrow sinx\cdot cosx=\frac{1}{2} sin2x$

$sin2x=2sin\alpha \cdot cos\alpha \Rightarrow sin4x=2sin2x\cdot cos2x$

Уравнение:

$\frac{1}{\frac{1}{2}sin2x} =2\frac{cos^22x-sin^22x}{2sin2x\cdot cos2x}$

$2sin2x\cdot cos2x=sin2x\cdot (cos^22x-sin^22x)$

$2sin2x\cdot cos2x-sin2x\cdot (cos^22x-sin^22x)=0$

$2sin2x\cdot (cos2x- (cos^22x-sin^22x))=0$

$2sin2x\cdot (cos2x- cos^22x+sin^22x)=0$

Применяем формулy

$sin^22x+cos^22x=1\Rightarrow sin^22x=1-cos^22x$

Уравнение:

$2sin2x\cdot (cos2x- cos^22x+1-cos^22x)=0$

$sin2x=0\\\\2x=\pi k, k \in Z\\\\x=\frac{\pi }{2}k, k \in Z$      $(cos2x- cos^22x+1-cos^22x)=0\\\\2cos^22x-cos2x-1=0\\\\D=9$

                          $cosx=-\frac{1}{2}$            или       $cosx=1$

                          $2x=\pm arccos(-\frac{1}{2})+2\pi n, n \inZ$    или     $2x=2\pi m, m \in Z$

                          $2x=\pm arccos\frac{2\pi }{3}+2\pi n, n \inZ$    или     $x=\pi m, m \in Z$

                          $x=\pm arccos\frac{\pi }{3}+\pi n, n \inZ$

Учитывая ограничения:  

$sinx\neq 0\\\\cosx\neq 0\\\\sin4x\neq 0$

получаем о т в е т.