Question

Пожалуйста помогите решить задачи!!!!
Знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій
1)
$y = x {}^{2} + 1. \\ y = 5$
2)
$y = x {}^{2} + 2x + 2. \\ y = 2 - x$
​

Answer 1

1) $S = \int_{-2}^2 5\; dx - \int_{-2}^2 (x^2 + 1)\; dx =$

$= 5x|_{-2}^2 - (\frac{x^3}{3} + x)|_{-2}^2 =$

$= 5\cdot (2 - (-2) ) - ( \frac{2^3}{3} + 2 - (\frac{(-2)^3}{3} - 2) ) =$

$= 5\cdot 4 - ( \frac{8}{3} + 2 - (-\frac{8}{3} - 2) ) =$

$= 20 - ( \frac{8}{3} + \frac{8}{3} + 2 + 2 ) = 20 - \frac{16}{3} - 4 =$

$= 16 - 5 - \frac{1}{3} = 11 - \frac{1}{3} = 10 + \frac{2}{3}$

2) $S = \int_{-3}^0 (2-x)\; dx - \int_{-3}^0 (x^2 + 2x + 2)\; dx =$

$= (2x - \frac{x^2}{2})|_{-3}^0 - ( \frac{x^3}{3} + x^2 + 2x )|_{-3}^0 =$

$= ( 0 - ( 2\cdot (-3) - \frac{(-3)^2}{2}) - ( 0 - (\frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 + 2\cdot (-3) ) ) =$

$= ( 6 + \frac{9}{2} ) + (\frac{-27}{3} + 9 - 6) =$

$= 6 + 4 + \frac{1}{2} - 9 + 9 - 6 = 4{,}5$