Question

3. В амфитеатре 17 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 38 мест, а в девятом ряду 42 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Answer 1

Ответ: в последнем ряду амфитеатра 58 мест.

Объяснение:

Числа, обозначающие количества мест в каждом ряду, образуют арифметическую прогрессию (поскольку каждый следующий член этой последовательности равняется предыдущему, сложенному с одним и тем же числом).

В данной прогрессии:

а₇ = 38;

а₉ = 42;

а₁₇ — ?

__________________

• Формула n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$, где d — разность прогрессии.

Отсюда, получаем:

а₇ = а₁ + 6d;

а₉ = а₁ + 8d.

Составим систему уравнений.

$\begin{equation*} \begin{cases} a_1 + 6d = 38 \\ a_1 + 8d = 42} \end{cases}\end{equation*}$

Решим ее методом подстановки.

Для этого выразим переменную а₁ из первого уравнения, перенеся всё кроме неё в правую часть (при переносе нужно обязательно менять знак слагаемого):

а₁ = 38 - 6d.

Теперь это выражение подставим вместо а₁ во второе уравнение системы и решим его:

38 - 6d + 8d = 42

-6d + 8d = 42 - 38

2d = 4

Разделим обе части уравнения на коэффициент возле переменной (то есть на 2):

d = 4 : 2

d = 2

Теперь подставим значение d в выражение, которому равняется а₁:

а₁ = 38 - 6 ⋅ 2 = 26.

Решение системы:

$\begin{equation*} \begin{cases} a_1 = 26 \\ d = 2} \end{cases}\end{equation*}$

Теперь, имея первый член прогрессии и ее разность, можем найти семнадцатый член.

Из формулы n-го члена получаем:

а₁₇ = а₁ + 16d = 26 + 16 ⋅ 2 = 58.