Question

решить в натуральных числах
x^2y+y^2x-y^2-x^2=1​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$x^2y+y^2x-y^2-x^2=1\\xy(x+y)-(x^2+y^2)=1\\xy(x+y)-(x+y)^2+2xy=1$

Замена: $x+y=u,\;xy=v$.

Тогда:

$uv-u^2+2v=1\\v(u+2)=1+u^2\\v=\dfrac{1+u^2}{u+2}$

Выполним деление уголком и получим:

$v=u-2+\dfrac{5}{u+2}$

Откуда очевиден переход (нам нужны натуральные решения!):

$\left[\begin{array}{c}u+2=\pm1\\u+2=\pm5\end{array}\right;$

Откуда $u=-1,\;u=-3,\;u=3,\;u=-7$.

Так как по условию просят найти только натуральные решения, очевидно, что случаи $u=-1,\;u=-3,\;u=-7$ рассматривать не надо, так как сумма натуральных чисел есть натуральное число.

Тогда имеем единственный случай

$u=3,\;v=2$

Выполним обратную замену, получив систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{c}x+y=3\\xy=2\end{array}\right;$

Проводя аналогию с теоремой Виета, получаем, что ответом будет две пары: $(1;\;2)$ и $(2;\;1)$.

Задание выполнено!

Комментарий:

Несложно найти все целые решения. Покажем это:

Для каждого $u$ найдем $v$:

$u=-1,\;v=2;\;u=-3,\;v=-10;\;u=3,\;v=2;\;u=-7,\;v=-10$

Мы получили системы уравнений (делаем обратную замену):

$\left\{\begin{array}{c}x+y=y\\xy=v\end{array}\right;$

Решая системы для каждого из случаев, получаем:

1) ничего не дает

2) $x=-5,\;y=2$ или $x=2,\;y=-5$.

3) $x=1,\;y=2$ или $x=2,\;y=1$.

4) ничего не дает