Question

Наименьшее целое решение неравенства: 3<2|x-3|-10<=5

Answer 1

Вспомним раскрытие модулей для простых неравенств (а и b - положительные числа):

$|y|>a \Rightarrow \left[\begin{array}{l} y>a \\ y<-a \end{array}\right.$

$|y| < b\Rightarrow -b < y < b$

$a< |y|< b \Rightarrow \left[\begin{array}{l}a< y< b \\ -b< y< -a \end{array}\right.$

Рассмотрим неравенство:

$3<2|x-3|-10\leqslant 5$

Ко всем частям неравенства прибавим 10:

$3+10<2|x-3|\leqslant 5+10$

$13<2|x-3|\leqslant 15$

Все части неравенства разделим на 2:

$13:2<|x-3|\leqslant 15:2$

$6.5<|x-3|\leqslant 7.5$

Раскроем модуль:

$\left[\begin{array}{l}6.5< x-3\leqslant 7.5 \\ -7.5\leqslant x-3< -6.5 \end{array}\right.$

В каждом случае ко всем частям неравенства прибавим 3:

$\left[\begin{array}{l}6.5+3< x\leqslant 7.5+3 \\ -7.5+3\leqslant x< -6.5+3 \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l}9.5< x\leqslant 10.5 \\ -4.5\leqslant x< -3.5 \end{array}\right.$

Значит, решение неравенства определяется соотношением:

$x\in[-4.5;\ -3.5)\cup(9.5;\ 10.5]$

Наименьшее целое решение неравенства:

$x_0=-4$

Ответ: -4