Question

sin2x = cos2x + 2cos²x​

Answer 1

Формулы синуса и косинуса двойного угла:

$\sin2x=2\sin x\cos x$

$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$

Воспользуемся данными соотношениями:

$\sin2x=\cos2x+2\cos^2x$

$2\sin x\cos x=\cos^2x-\sin^2x+2\cos^2x$

$2\sin x\cos x=3\cos^2x-\sin^2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin^2x+2\sin x\cos x-3\cos^2x=0$

Разделим уравнение почленно на $\cos^2x\neq 0$:

$\dfrac{\sin^2x}{\cos^2x} +\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos^2x} -\dfrac{3\cos^2x}{\cos^2x} =0$

$\mathrm{tg}\,^2x+2\,\mathrm{tg}\,x-3=0$

Решаем квадратное уравнение относительно тангенса. Так как сумма коэффициентов уравнения равна 0, то первый корень равен 1, а второй равен свободному члену:

$\mathrm{tg}\,x_1=1\Rightarrow \boxed{x_1=\dfrac{\pi }{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

$\mathrm{tg}\,x_2=-3\Rightarrow x_2=\mathrm{arctg}\,(-3) +\pi n\Rightarrow \boxed{x_2=-\mathrm{arctg}\,3 +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$