Question

Через вершину А правильного треугольника АВС проведена плоскость α параллельно стороне ВС так, что сторона АС составляет с этой плоскостью угол в 30°. Найдите длину проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α, если АВ = 12 см.

Answer 1

Ответ:

Длина проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α равна 6√2 см.

Объяснение:

Требуется найти длину проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α.

Дано: ΔАВС - равносторонний;

А ∈ α;  ВС || α;

АВ = 12 см;

сторона АС составляет с плоскостью  α угол в 30°;

Найти: AD₁

Решение:

1. Рассмотрим ΔСАС₁ - прямоугольный.

• Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

⇒ ∠САС₁ = 30°;

АС = 12 см;

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ СС₁ = АС : 2 = 12 : 2 = 6 (см)

2. Рассмотрим ΔАВС - равносторонний.

AD - медиана, высота.

⇒ DC = BC : 2 = 12 :2 = 6 (см)

3. Рассмотрим ΔADC - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

AD² = AC² - DC²

AD² = 144 - 36 = 108

AD = √108 = 6√3 (см)

3. Рассмотрим DCC₁D₁

DD₁ ⊥ α; CC₁ ⊥ α   ⇒ DD₁ || CC₁

BC || α ⇒ BC || B₁C₁

⇒ DCC₁D₁ - параллелограмм.

• Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ DD₁ = CC₁ = 6 см

4. Рассмотрим ΔADD₁ - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

AD₁² = AD² - DD₁² = 108 - 36 = 72

AD₁ = √72 = 6√2 (см)

Длина проекции медианы AD треугольника АВС на плоскость α равна 6√2 см.