Штучний супутник рухається навколо Землі з першою космічною швидкістю. Довести, що період його звернення збігається з періодом уявного математичного маятника, довжина якого дорівнює радіусу Землі.
Ответы
Объяснение: Период качания (Тм) математического маятника определяется выражением: Тм = 2π√(L/g)
здесь L - длина математического маятника;
g - ускорение свободного падения.
Если длина математического маятника будет равна радиусу Земли (R), то период качания будет равен Тм = 2π√(R/g) ------------ (1)
Поскольку искусственный спутник Земли (ИСЗ) обращается вокруг Земли с первой космической скоростью, то это означает, что высота полета спутника мала. В первом приближении её можно считать равной нулю. Ускорение свободного падения, действующее на спутник, является центростремительным ускорением, а величина центростремительного ускорения определяется выражением, а = U²/R.
Следовательно, можно записать, что g = U²/R ------------- (2)
здесь U - орбитальная скорость ИСЗ; R - радиус Земли.
Но с другой стороны орбитальная скорость определяется выражением: U = 2πR/Т ------------------------- (3)
здесь Т - период обращения ИСЗ.
Квадрат скорости будет равен U² = 4π²R²/Т² ----------------- (4)
Квадрат скорости из (4) подставим в (2), имеем: g = (4π²R²/Т²)/R.
После сокращения на R имеем: g = 4π²R/Т² ----------------- (5)
Из выражения (5) Т² = 4π²R/g. Отсюда Т = 2π√(R/g), данное выражение в точности совпадает с выражением (1), что и требовалось доказать.