Предположим, что из вещества Земли, не изменяя его плотности,
изготовили «проволоку» длиной от её центра до а) Луны; б) Солнца. Какой
толщины будет эта проволока?
Ответы
Дано:
М = 5,98*10²⁴ кг
R = 6,4*10⁶ м
L1 = 3,84*10⁸ м
L2 = 1,5*10¹¹ м
D1, D2 - ?
Решение:
Т.к. плотность не меняется, то составим следующее уравнение:
ρ = M/V = M/V', где V - объём земного шара, а V' - объём земного шара, вытянутого в "проволоку".
V = (4/3)πR³
V' = SL = πR'²L, где R' - радиус "проволоки", L - её длина, которая равна расстоянию между центром Земли и центром какого-либо небесного тела.
R' = D/2 - радиус равен половине диаметра. Тогда:
V' = πR'²L = π(D/2)²L = πD²L/4 =>
=> M/V = M/((4/3)πR³) = 3M/(4πR³)
M/V' = M/(πD²L/4) = 4M/(πD²L)
Теперь составим уравнение для каждого из случаев:
3M/(4πR³) = 4M/(πD1²L1)
3M/(4πR³) = 4M/(πD2²L2)
Умножим правые и левые части на (π/М):
3/(4R³) = 4/(D1²L1)
3/(4R³) = 4/(D2²L2)
Теперь выражаем D1 и D2:
D1²L1 = 4/(3/(4R³)) = 16R³/3
D1² = (16R³/3)/L1 = 16R³/(3L1)
D1 = √(16R³/(3L1)) = 4√(R³/(3L1)) = 4*√((6,4*10⁶)³/(3*3,84*10⁸)) = 1908111,3... = 1908 км = 1,9*10⁶ м - в случае Луны
D2 = 4√(R³/(3L2)) = 96543,6... = 96,5 км = 9,7*10⁴ м - в случаев Солнца
Ответ: 1,9*10⁶ м; 9,7*10⁴ м.
Ответ: Диаметр "проволоки" до Луны ≈ 1895,2 км.
Диаметр "проволоки" до Солнца ≈ 96,2 км
Объяснение: Поскольку Земля имеет близкую к шару форму, то её объем найдем по формуле Vз = 4πR³/3,
здесь R - средний радиус Земли = 6371 км.
"Проволока" (цилиндр) диаметром D и длиной L будет иметь объем:
Vп = πD²L/4.
Так как "проволоку" сделали из вещества Земли, то объем "проволоки" равен объему Земли. Т.е. Vп = Vз,
или иначе: πD²L/4 = 4πR³/3. Сократив на π, имеем: D²L/4 = 4R³/3.
Отсюда D² = 16R³/3L.
Тогда диаметр "проволоки" равен D = 4R√(R/3L)
Диаметр "проволоки" до Луны равен:
Dл = 4R√(R/3L) = 4*6371√(6371/3*384000) ≈ 1895,2 км.
Диаметр "проволоки" до Солнца равен:
Dс = 4R√(R/3L) = 4*6371√(6371/3*149600000) ≈ 96,2 км