Question

около окружности описан треугольник ABC. прямая, параллельная AB и касающаяся окружности, пересекает сторону AC в точке A1, а сторону BC - в точке B1. найти длину стороны AB, если известно, что периметр треугольника ABC равен 40 и A1B1 = 3,2.

Answer 1

Ответ:

Сторона АВ может быть равна 16 (ед.) или 4 (ед.)

Объяснение:

Требуется найти длину стороны АВ.

Дано: ΔАВС;

Окр.О - вписанная;

А₁В₁ || АВ; А₁В₁ - касательная;

А₁ ∈ АС; В₁ ∈ ВС;

Р (АВС) = 40, А₁В₁ = 3,2.

Найти: АВ.

Решение:

1. Рассмотрим ΔА₁В₁С.

Р (А₁В₁С) = А₁С + В₁С + А₁В₁

• Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны.

⇒МВ₁ = В₁Е; РА₁ = А₁Е (отрезки касательных)

А₁В₁ = А₁Е + В₁Е = РА₁ + МВ₁

Тогда

Р (А₁В₁С) = А₁С + В₁С +  РА₁ + МВ₁ = РС + МС

2. Рассмотрим ΔАВС.

АК = АР; КВ = ВМ (отрезки касательных)

АВ = АК + КВ = АР + ВМ

Или

2АВ = 40 - ( РС + МС) = 40 - Р (А₁В₁С)

⇒ Р (А₁В₁С) = 40 - 2АВ

3. Рассмотрим ΔА₁В₁С и ΔАВС.

А₁В₁ || AB (условие)

• Лемма. Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне, то она отсекает треугольник, подобный данному.

⇒ ΔА₁В₁С ~ ΔАВС.

• Периметры подобных треугольников относятся как соответственные стороны.

$\displaystyle \frac{P_{A_1B_1C}}{P_{ABC}} =\frac{A_1B_1}{AB} \\\\ \frac{40-2AB}{40} =\frac{3,2}{AB}$

4. Обозначим АВ = х

Используем свойства пропорции и решим уравнение.

$\displaystyle \frac{40-2x}{40}=\frac{3,2}{x}\\ \\ 40x-2x^2=128\\\\2x^2-40x+128=0\;\;\;|:2\\\\x^2-20x+64=0\\\\x_{1,2}=\frac{20\pm\sqrt{400-256} }{2}=\frac{20\pm12}{2}\\ \\ x_1=16;\;\;\;\;\;x_2=4$

Сторона АВ может быть равна 16 (ед.) или 4 (ед.)