Question

Помогите решить.
$(4x)^{ log4(2x) } = 2x$
​

Answer 1

Ответ:

х₁=0,5; х₂=1.

Объяснение:

$(4x) {}^{ \log_{4}(2x) } = 2x.$

ОДЗ: х ∈ (0; +∞). Немного преобразуем.

$4 {}^{ \log_{4}(2x) } \cdot \: x {}^{ \log_{4}(2x) } = 2x.$

Правило:

• $a {}^{ \log_{a}(b) } = b.$

Имеем:

$2x \cdot \: x {}^{ \log_{4}(2x) } = 2x. \\ 2x {}^{1 + \log_{4}(2x) } = 2x.$

Разделим обе части уравнения на 2.

$x {}^{1 + \log_{4}(2x) } = 2x.$

Берём логарифм от обеих частей уравнения.

$\log_{4} \bigg(x {}^{1 + \log_{4}(2x) } \bigg) = \log_{4}(x) .$

Правило:

$\log_{a}(b {}^{c} ) = c \cdot \log_{a}( |b| ) .$

Имеем:

$\tt \: (1.5 + 0.5 \cdot \log_{2}(x) ) \cdot \log_{4}( |x| ) = \log_{2 {}^{2} }(x) .$

• Правило:
• $\log_{a {}^{y} }(b) = \dfrac{1}{y} \log_{a}(b) .$

ИМЕЕМ:

$1.5 \cdot \log_{4}(x) + \dfrac{ \log_{2}(x) \log_{4}(x) }{2} = 0.5 \log_{2}(x) . \\ 1.5 \cdot 0.5\cdot \log_{2}(x) + \dfrac{ \log_{2}(x) \times 0.5 log_{2}(x) }{2} = 0.5 \times log_{2}(x) . \\ 0.75 \times log_{2}(x) + \frac{ log {}^{2} _{2}(x) }{4} = 0.5 \times log_{2}(x) .$

Умножим обе части уравнения на 4.

$3 log_{2}(x) + log {}^{2} _{2}(x) = 2 log_{2}(x) . \\ 3 log_{2}(x) + log {}^{2} _{2}(x) - 2 log_{2}(x) = 0.$

Приводим подобные.

$log_{2}(x) + log {}^{2} _{2}(x) = 0.$

Выносим общий множитель за скобки.

$log_{2}(x) (1 + log_{2}(x) ) = 0.$

• Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0.

$1) \: log_{2}(x) = 0 \to \: x = 1. \\ 2) \: 1 + log_{2}(x) = 0 \to log_{2}(x) = - 1 \to \: x = 2 {}^{ - 1} = 0.5$

Корни удовлетворяют ОДЗ.