Question

НАЙТИ НАБОЛЬШОЕ И НАЙМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКУ! СРОЧНО!Знайти найбільше і найменше значення функції на проміжку.


$\frac{x^{3} }{3} -6x^{2} +32x$ [0;9]

Answer 1

у'=(x³/3-6x²+32x)=x²-12x+32

x²-12x+32=0 ,   x₁+x₂=12,   x₁*x₂=32 ⇒   x₁=4 ,x₂=8.

у(0)=0³/3-6*0²+32*0=0

у(4)=4³/3- 6*4²+32*4=64/3+32=64/3+96/3=160/3=53 1/3

у(8)=8³/3 - 6*8²+32*8=512/3 - 384+ 256=512/3 - 128=

=512/3 - 384/3=128/3=42 2/3

у(9)=9³/3 - 6*9²+32*9=729/3 - 486+ 288=729/3  - 198=

=729/3  - 594/3=135/3=45

найбільше значення функції на проміжку  это  53 1/3

найменше значення функції на проміжку это 0

Answer 2

Найдем критические точки, для чего решим уравнение у'=0

у'=((x³/3)-6x²+32x)'=(3x²/3)-12x+32=x²-12x+32

x²-12x+32=0 ,  по Виету   x=4, x=8.

Оба значения принадлежат отрезку  [0;9]; поэтому найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка и выберем из них самое большое и наименьшее.

у(0)=(0³/3)-6*0²+32*0=0

у(4)=(4³/3)- 6*4²+32*4=(64-18*16+32*12)/3=(64-288+384)/3=160/3=53 1/3

у(8)=8³/3 - 6*8²+32*8=(512-18*64+32*24)/3=(512-1152+768)/3=128/3=42 2/3

у(9)=9³/3 - 6*9²+32*9=243 - 486+ 288=45

Наибольшее значение равно у(4)=53 1/3, наименьшее у(0)=0

Ответ 53 1/3; 0