Question

В спортивный магазин поступили баскетбольные и футбольные мячи в соотношении 3:2 соответственно. Андрей купил 4 мяча.

а) Составьте таблицу распределения числа купленных Андреем баскетбольных
мячей. Подробно распишите нахождение значений вероятности для каждого значения случайной величины.
б) Найдите дисперсию данной случайной величины

Answer 1

Ответ:

а) Таблица распределения :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\cline{7- 12} X&0&1&2&3&4\cline{7-12} P&0,0256&0,1536&0,3456&0,3456&0,1296\cline{7-12} \end{array}$

б) Дисперсия составляет 0,96 кв. ед.

Объяснение:

а) Составьте таблицу распределения числа купленных Андреем баскетбольных мячей.

б) Найдите дисперсию данной случайной величины

В спортивный магазин поступили баскетбольные и футбольные мячи в соотношении 3:2 соответственно.

Всего частей :

3 + 2 = 5

Значит вероятность купить баскетбольный мяч $\displaystyle \frac{3}{5}$ , а футбольных $\displaystyle \frac{2}{5}$ .

По условию, Андрей купил 4 мяча.

В качестве случайной величины Х выступает число  баскетбольных мячей среди 4-х купленных . Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Для составления таблицы распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений.

Для этого используем формулу Бернулли :

$\displaystyle C_{n}^{m}=\frac{n !}{m !(n-m) !} p^{m} q^{n-m}$, где

n - всего событий;

m - количество удовлетворяющих событий;

p - вероятность выпадения удовлетворяющего события

q - вероятность противоположного события.

У нас :  $\displaystyle p =\frac{3}{5};\ q=\frac{2}{5}$

1) Найдем вероятность того, что среди  купленных четырех мячей нет баскетбольных.

$\displaystyle P_{4}(0)=C_{4}^{0} * p^{0} * q^{4-0}=1 *\left(\frac{3}{5}\right)^{0} *\left(\frac{2}{5}\right)^{4-0}=1 * 1 *\left(\frac{2}{5}\right)^{4}=\frac{16}{625}=0,0256$

2) Найдем вероятность того, что среди  купленных четырех мячей один баскетбольных.

$\displaystyle P_{4}(1)=C_{4}^{1} * p^{1} * q^{4-1}=4 *\left(\frac{3}{5}\right)^{1} *\left(\frac{2}{5}\right)^{4-1}=4 * \frac{3}{5} *\left(\frac{2}{5}\right)^{3}=4 *\frac{3}{5}*\frac{8}{125}= \\ \\ =\frac{96}{625} =0,1536$

3) Найдем вероятность того, что среди  купленных четырех мячей два баскетбольных.

$\displaystyle P_{4}(2)=C_{4}^{2} * p^{2} * q^{4-2}= 6 *\left(\frac{3}{5}\right)^{2} *\left(\frac{2}{5}\right)^{4-2}=6 * \frac{9}{25} *\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=6 *\frac{9}{25}*\frac{4}{25}= \\ \\ =\frac{216}{625} =0,3456$

4) Найдем вероятность того, что среди  купленных четырех мячей три баскетбольных.

$\displaystyle P_{4}(3)=C_{4}^{3} * p^{3} * q^{4-3}= 4 *\left(\frac{3}{5}\right)^{3} *\left(\frac{2}{5}\right)^{4-3}=4 * \frac{27}{125} *\left(\frac{2}{5}\right)^{1}=4 *\frac{27}{625}*\frac{2}{5}= \\ \\ =\frac{216}{625} =0,3456$

4) Найдем вероятность того, что среди  купленных четырех мячей четыре баскетбольных.

$\displaystyle P_{4}(4)=C_{4}^{4} * p^{4} * q^{4-4}= 1 *\left(\frac{3}{5}\right)^{4} *\left(\frac{2}{5}\right)^{4-4}=1 * \frac{81}{625} *\left(\frac{2}{5}\right)^{0} =\frac{81}{625} =0,1296$

Таблица распределения :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\cline{7- 12} X&0&1&2&3&4\cline{7-12} P&0,0256&0,1536&0,3456&0,3456&0,1296\cline{7-12} \end{array}$

б) Найдем дисперсию данной случайной величины.

Формула для дисперсии дискретной случайной величины :

D(X)=M(X²)−(M(X))².

M(X) - математическое ожидание случайной величины.

Найдем  математическое ожидание :

M(X) = 0 * 0,0256 + 1* 0,1536 + 2* 0,3456 + 3 *0,3456 + 4 *0,1296 = 2,4

Найдем M(X²)

M(X²) = 0 + 1² * 0,1536+ 2²* 0,3456 + 3² *0,3456 + 4² *0,1296 =

= 0 + 0,1536 + 1,3824 + 3,1104 + 2,0736 = 6,72

Найдем дисперсию :

D(X)=M(X²)−(M(X))² = 6,72 - ( 2,4)²= 6,72 - 5,76 = 0.96

Дисперсия составляет 0,96 кв. ед.