ИСЗ обращается по круговой орбите вокруг планеты радиусом 3400 км, совершая один оборот за 2 часа. Ускорение свободного падения 4м/с^2. Определить радиус орбиты спутника.
Ответы
Ответ: Радиус орбиты спутника ≈ 3930,439 км
Объяснение: 1) Дано:
Ускорение свободного падения на поверхности планеты g = 4 м/с²
Радиус планеты R = 3400 км = 3,4*10^6 м
Период обращения спутника t = 2 часа = 7,2*10³ с
Радиус орбиты спутника - ?
Ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется выражением: g = G*M/R² -------------------- (1)
здесь G – гравитационная постоянная: M – масса планеты; R – радиус планеты.
Из выражения (1) масса планеты M = g*R²/G --------------------- (2)
Спутник, имея орбитальную скорость U, обращается вокруг планеты на некоторой высоте h. При этом центростремительное ускорение, действующее на спутник, а = U²/(R+h) ----------- (3).
Но, с другой стороны роль центростремительного ускорения выполняет ускорение свободного падения, которое создает планета на высоте h. Это ускорение на высоте h будет равно:
gh = G*M/(R+h)² ---------------- (4)
С учетом выражения (2) выражение (4) примет вид:
gh = g*R²/(R+h)² --------------- (5)
Поскольку ускорение свободного падения на высоте h является центростремительным ускорением, т.е. а = gh, то с учетом выражений (3) и (5) можно записать уравнение:
U²/(R+h) = g*R²/(R+h)², после сокращения имеем:
U² = g*R²/(R+h) ----------------- (6)
С другой стороны орбитальная скорость равна частному от деления длины орбиты (S) на время одного оборота (t) т.е. U = S/t = 2π(R+h)/t. Квадрат этой скорости U² = 4π²(R+h)²/t² ---------------------- (7)
С учетом выражения (7) выражение (6) примет вид:
4π²(R+h)²/t² = g*R²/(R+h) --------------- (8)
В выражении (8) величина (R+h) является радиусом орбиты спутника. Его-то нам и надо найти.
Примем, что (R+h) = х. Тогда выражение (8) примет вид:
4π²х²/t² = g*R²/х ---------------- (9)
Из уравнения (9) х = ∛(g*R²*t²/4π²) Подставив числовые значения параметров, и вспомнив, что х= (R+h) имеем:
R+h = ∛{4(3,4*10^6)²*(7,2*10³)²/4π²} ≈ 3930438,7 м ≈ 3930,439 км