Question

решите уравнение в натуральных числах
(2а-3b)(a-b)=18

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

(2а-3b)(a-b)=18

(2a-2b-b)*(a-b)=18

(2(a-b)-b)(a-b)=18

обозначим a-b=x

(2x-b)x=18

2x²-bx-18=0

x₁₋₂=(b±√(b²+4*2*18))/4=(b±√(b²+144))/4=

b²+144 должно быть полным квадратом иначе не получится натуральных  a и b

ближайшее подходящее b²=25; 25+144=169=13² ; b=±5

1) b=5; x=(5±13)/4∈{-2;4,5} дробный корень не годится так как а и b натуральные

2) b=-5; не годится так как b натуральные

Итак

b=5; x=a-b=-2; a=-2+5=3

a=3 b=5

проверка

(2*3-3*5)(-2)=(6-15)(-2)=-9(-2)=18

Ответ

a=3 ; b=5

a=15; b=9 ( решение далее)

Дополнение

a=3 ; b=5 это одно из решений . оно получилось подбором b так чтобы b²+144 было полным квадратом

Можно попробовать подобрать другие значения b при которых

b²+144 будет полным квадратом

например

II.  144+81=225=15²

b²=81=9²

b=9

x₁₋₂=(b±√(b²+144))/4=(9±15)/4∈{-1.5;6}

x=a-b=6

a-9=6

a=9+6=15

Проверка

(2*15-3*9)(15-9)=3*6=18 подходит

a=15; b=9 решение

III.  144+225=225=15²

b²=81=9²

b=9

x₁₋₂=(b±√(b²+144))/4=(9±15)/4∈{-1.5;6}

x=a-b=6

a-9=6

a=9+6=15

Проверка

(2*15-3*9)(15-9)=(30-27)*6=3*6=18 подходит

a=15; b=9 решение