Question

Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45˚. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник со стороной, равной 3, и противоположным углом 30˚. Найдите объём описанной около пирамиды конуса.
а) Определить нельзя; б) 3π см3; в) 2π см3; г) 18π см3; д) 9π см3.

Answer 1

Ответ:  9π см³

Объяснение:  Если основание пирамиды - прямоугольный треугольник, а  боковые рёбра наклонены к плоскости основания под  равным углом, то её высота проходит через центр описанной около основания окружности, т.е. через середину гипотенузы.

          *   *   *

    Пусть в пирамиде МАВС угол С ∆ АВС - прямой, МО - высота пирамиды ( МО - перпендикуляр к плоскости основания),  и углы МАО=МВО=МСО=45°.

    Тогда ∆ МАО=∆ МВО=∆ МСО по равному острому углу и общему катету МО. Они равнобедренные, МО=АО=ВО=СО=R.

    Катет АС противолежит углу 30° => равен половине гипотенузы АВ.

АВ=2•3=6.

  Конус, описанный около пирамиды, имеет общую с ней вершину, боковые ребра -  образующие конуса,  а его основание - описанная около основания пирамиды окружность.

R=3.

   Формула объёма конуса V=S•h:3, где S - площадь основания конуса, h- его высота.

V=πR²•h:3= π•3²•3:3=9π см³