Question

Помогите пожалуйста!
Дан вписанный в окружность четырёхугольник ABCD со сторонами AB= 1, BC=2, CD= 3, DА=4. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке P, а продолжение стороны BC и DА - в точке Q. Найдите сумму длин отрезков BP, PC, QA и QB. ​

Answer 1

Ответ:

BP+PC+QA+QB=7

Пошаговое объяснение:

∠PCB=180°-∠C  ∠PAD=180°-∠C  ⇒ ∠PCB=∠PAD  

Δ PBC подобен Δ PAD по 2 углам: ∠PCB=∠PAD, ∠Р-общий ⇒∠

PA/PC = PD/PB = AD/BC   AD/BC=4/2=2

PA=x+1  PC=y  (x+1)/y=2  x+1=2y     (1)

PD=y+3  PB=x   (y+3)/x=2  y+3=2x   (2)

(1)+(2)   x+1+y+3=2y+2x     x+y=4  (3)

∠QBA=180°-∠B   ∠QDP=180°-∠B   ⇒  ∠QBA=∠QDP

Δ QDC подобен Δ QAB  по 2 углам   ∠QBA=∠QDP,  ∠Q-общий

QD/QB = QC/QA = CD/AB   CD/AB=3/1=3

QD=z+4   QB=t  (z+4)/t=3  z+4=3t   (4)

QC=t+2   QA=z   (t+2)/z=3  t+2=3z  (5)

(3) + (4)   z+4+t+2=3t+3z   2t+2z=6  t+z=3 (6)

(3) +(6)  x+y+z+t=7  PB+PC+QA+QB=7