Question

4. При каких значениях a площадь фигуры, ограниченной линиями y=x³, y=0, x=a, равно 64.
А) 4
Б) 8
В) 16
Г) 32
5. Для функции f(x)=2x-4 на промежутке (–∞; +∞) найти первообразную, график которой проходит через точку M (1; 3)
А) F(x)=x²-4x+5
Б) F(x)=x²-4x+6
В) F(x)=2x²-4x-6
Г) F(x)=2x-4+6
6. Найти общий вид первообразных для функции f(x)=9x²-4x-1 на промежутке (–∞; +∞)
А) F(x)=18x³-4x²+C
Б) F(x)=3x³+2x²-x+C
В) F(x)=18x-4+C
Г) F(x)=3x³-2x²-x+C

Answer 1

Ответ:

$4)\ \ y=x^3\ ,\ y=0\ ,\ x=a\ ,\ \ S=64$

Прямая х=а - прямая, параллельная оси ОУ , и проходящая через точки с абсциссой х=а . Тогда площадь криволинейной трапеции, заданной в условии, вычисляется с помощью определённого интеграла. ( Криволинейной трапецией называется область, ограниченная линиями y=f(x) , y=0 , x=m , x=n , одно из значений m либо n может равняться 0 .)  

Кубическая парабола у=х³ и ось ОХ пересекаются при х=0 .

$\displaystyle S=\int\limits^{a}_0\, x^3\, dx=\frac{x^4}{4}\, \Big|_0^{a}=\frac{1}{4}\cdot (a^4-0)=\dfrac{a^4}{4}\ \ ,\ \ \ \dfrac{a^4}{4}=64\ \ ,\ \ a^4=256\ \ ,\ \ a=\pm 4$

Ответ:  площадь заданной фигуры , ограниченной указанными линиями, равна 64, если значение а=4 либо а= -4 . В предложенном варианте  ответа А)  указано только одно значение а=4 , но это возможно лишь в случае, когда в условии оговорили бы, что  нужно указать только положительное значение  а .

$5)\ \ f(x)=2x-4\ \ ,\ \ x\in (-\infty ;+\infty )\ \ ,\ \ M(1;3)\\\\F'(x)=f(x)\\\\\displaystyle F(x)=\int (2x-4)\, dx=\frac{2x^2}{2}-4x+C=x^2-4x+C$

Так как график первообразной должен пройти через точку М(1;3) , то подставим координаты этой точки в первообразную, найдём значение константы C .

$F(1)=3\ \ \Rightarrow \ \ F(1)=1^2-4\cdot 1+C\ \ ,\ \ -3+C=3\ \ ,\ \ C=6$

Ответ: Б)  $F(x)=x^2-4x+6$  .

$\displaystyle 6)\ \ f(x)=9x^2-4x-1\ \ ,\ \ x\in (-\infty ;+\infty )\\\\F'(x)=f(x)\\\\\F(x)=\int (9x^2-4x-1)\, dx=\frac{9x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}-x+C=3x^3-2x^2-x+C$

Ответ: Г) .