Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С АЛГЕБРОЙ
1. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см.
Найдите стороны прямоугольника.
Полное решение.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения пораболы y=x^2-14 и прямой x+y=6.

Answer 1

Ответ:

1)  Периметр прямоугольника 14 см . Если стороны прямоугольника обозначить через х и у , то периметр равен

$P=2(x+y)=14\ \ \Rightarrow \ \ \ x+y=7$

Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами  х  и  у . Тогда по теореме Пифагора:

$x^2+y^2=5^2$

Решим систему:  $\left\{\begin{array}{l}x+y=7\\x^2+y^2=25\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=7-x\\x^2+(7-x)^2=25\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=7-x\\x^2+49-14x+x^2=25\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}y=7-x\\2x^2-14x+24=0\ |:2\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=7-x\\x^2-7x+12=0\end{array}\right$

По теореме Виета корнями уравнения  $x^2-7x+12=0$  будут числа 3 и 4 . Найдём соответствующие значения  у .

$\left\{\begin{array}{l}y_1=7-3\ ,\ y_2=7-4\\x_1=3\ ,\ x_2=4\end{array}\right\ \ \ \ \left\{\begin{array}{l}y_1=4\ ,\ y_2=3\\x_1=3\ ,\ x_2=4\end{array}\right$  

Стороны прямоугольника равны   3 см  и  4 cм .

$2)\ \ y=x^2-14\ \ ,\ \ x+y=6\ \ \Rightarrow \ \ y=6-x$

Запишем систему и решим её .

$\left\{\begin{array}{l}y=6-x\\y=x^2-14\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=6-x\\6-x=x^2-14\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y=6-x\\x^2+x-20=0\end{array}\right$

По теореме Виета корнями уравнения  $x^2+x-20=0$  будут числа 4 и  (-5) . Найдём соответствующие значения  у .

$\left\{\begin{array}{l}y_1=6-4\ ,\ y_2=6-(-5)\\x_1=4\ ,\ x_2=-5\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}y_1=2\ ,\ y_2=11\\x_1=4\ ,\ x_2=-5\end{array}\right$

Парабола и прямая пересекаются в двух точках, это точки ( 4 ; 2 )  и  (-5 ; 11 ) .