Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!
(полним решением, пожалуйста)

Answer 1

а) Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA                     y - yA                           z - zA

xB - xA                   yB - yA                       zB - zA

xC - xA                    yC - yA                       zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x – 4                y – 6                  z – 2

6 – 4                 12 – 6                 3 – 2

(-2) – 4              0 – 6                  1 - 2 = 0

x – 4                 y – 6                   z – 2

 2                       6                            1

-6                      -6                           -1 = 0

(x – 4)(6·(-1)-1·(-6)) – (y – 6)(2·(-1)-1·(-6)) + (z – 2)(2·(-6)-6·(-6)) = 0

0(x – 4) + (-4)(y – 6) + 24(z – 2) = 0

- 4y + 24z - 24 = 0. Это уравнение плоскости М1М2М3.

б) Для параллельной плоскости используем нормальный вектор плоскости М1М2М3, равный (0; -4; 24) и координаты точки Мо(-2; 2; 3).

0*(x+ 2) + (-4)*(y – 2) + 24(z – 3) = 0,

-4y + 8 + 24z – 72 = 0,

-4y + 24z – 64 = 0.

в) Находим вектор М1М3.

М1М3 = (-2-4; 0-6; 1-2) = (-6; -6; -1).

Для искомой плоскости он будет нормальным вектором.

Для уравнения плоскости используем нормальный вектор плоскости М1М3, равный (-6; -6; -1) и координаты точки Мо(-2; 2; 3).

(-6)*(x+ 2) + (-6)*(y – 2) + (-1)(z – 3) = 0,

-6x – 12 - 6y + 12 - z + 3 = 0,

-6x - 6y - z + 3 = 0 или с положительным значением коэффициента при х: 6x + 6y + z - 3 = 0.

г) Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|√A2 + B2 + C2

Подставим в формулу данные:

d = |0·(-2) + (-4)·2 + 24·3 + (-24)|/√02 + (-4)2 + 242 =

= |0 - 8 + 72 - 24|/√0 + 16 + 576 =

= 40/√592 = 10√37/37 ≈ 1,64399.

д) Находим вектор М1М2.

М1М2 = (6-4; 12-6; 3-2) = (2; 6; 1).

Уравнение М1М2: (x + 2)/2 = (y – 2)/6 = (z – 3)/1.

е)  Находим вектор М1М3.

М1М2 = (-2-4; 0-6; 1-2) = (-6; -6; -1).

Уравнение М1М3: (x + 2)/(-6) = (y – 2)/(-6) = (z – 3)/(-1).

Приравняв уравнения параметру t, получаем параметрические уравнения прямой М1М3:

(x + 2)/(-6) = (y – 2)/(-6) = (z – 3)/(-1) = t.

x = -6t – 2,

y = -6t + 2,

z = -t + 3.

э) Вектор М1М2 = (2; 6; 1), его модуль равен √(4+36+1) = √41.

вектор М1М3 = (-6; -6; -1), его модуль равен √(36+36+1) = √73.

cos(M1M2_M1M3) = |(2*(-6)+6*(-6)+1*(-1)|/( √41*√73) =

                             = |-49|/√2993 ≈ 0,89566.

Угол равен arccos 0,89566 = 26, 4068 градуса.