Question

1. Определите, является ли функция F первообразной для функции f на множестве R: F(x)=2x^4 + cos^2 x-3, f(x)=8x^3 + sin2x-3x.

Answer 1

Ответ:

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) , если  

$F'(x)=f(x)$  .

Проверим это свойство.

$F(x)=2x^4+cos^2x-3\ \ ,\ \ \ f(x)=8x^3+sin2x-3x\\\\F'(x)=(2x^4+cos^2x-3)'=2\cdot 4x^3+2\cdot cosx\cdot (cosx)'-3'=\\\\{}\ \ \ \ =8x^3-\underbrace{2\cdot cosx\cdot sinx}_{sin2x}-0=8x^3-sin2x\ne f(x)$

Получили, что   $F'(x)\ne f(x)$  , значит  F(x) не является первообразной для заданной функции  f(x) .