Question

помогите решить уравнение 6^cos2x>6^cos^2x+sinx.

Answer 1

6^cos2x>6^(cos^2x+sinx) ,6>1  знак неравенства не меняется

cos2x>cos²x+sinx

cos2x>cos²x+sinx

2cos²x-1>cos²x+sinx

2cos²x-1-cos²x-sinx>0

cos²x-1-sinx>0 |*(-1)

1-cos²x +sinx<0

sin²x+ sinx<0 <0 , sinx=t

t²+t<0  ,  t²+t=0 ⇒t=0 ,t=-1

+ + + (-1) - - - - (0)+ + + , -1<t<0

-1< sinx <0

-π/2+2πn<x<0+2πn,n∈Z

-π/2+2πn<x<2πn,n∈Z

Answer 2

${6}^{ \cos(2x) } > {6}^{ \cos {}^{2} (x) + \sin(x) }$

Т.к основание слева и справа равны и больше 1, то показатели сносятся, а основание убирается, при этом знак неравенства сохраняется

$\cos(2x) > \cos {}^{2} (x) + \sin(x)$

Разложим cos(2x) по формуле и перенесем неизвестные влево

$2 \cos {}^{2} (x) - 1 - \cos {}^{2} (x) - \sin(x ) > 0$

$\cos {}^{2} ( x ) - \sin(x) - 1 > 0$

Раскроем также cos²(x) по основному тригонометрическому тождеству

$1 - \sin {}^{2} (x) - \sin(x) - 1 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом его знак поменяется

$\sin {}^{2} (x) + \sin(x) < 0$

$\sin(x) ( \sin(x) + 1) < 0$

$\sin(x) = 0 \\ \sin(x) = - 1$

$x = 2k\pi \\ x = - \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

Решим методом интервалов

--------(-pi/2)--{-}--(0)---{+}---(3pi/2)---{-}---(2pi)------------>

Требуется найти (<0), тогда в ответ пишем...

Ответ: x€(3pi/2+2kpi;2kpi), k€Z