Question

63 (3).
69.
P.s Полностью.​

Answer 1

Ответ:

63(3).  Площадь фигуры, ограниченной линиями

$\displaystyle y=cos\;x,\;\;\;y=1+\frac{2}{\pi} x,\;\;\;x=\frac{\pi}{2}.$   равна (3π/4 - 1) ед.²

69. Объем тела вращения тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой  y=-x²+4,   0 ≤ x ≤ 2,   x=0 вокруг оси 0х равен (17 1/15)π ед³.

Объяснение:

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

$\displaystyle y=cos\;x,\;\;\;y=1+\frac{2}{\pi} x,\;\;\;x=\frac{\pi}{2}.$

Найти объем тела вращения тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой

y=-x²+4,   0 ≤ x ≤ 2,   x=0

вокруг оси 0х.

63(3).  Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями:

$\displaystyle y=cos\;x,\;\;\;y=1+\frac{2}{\pi} x,\;\;\;x=\frac{\pi}{2}.$

Площадь фигуры найдем по формуле:

$\displaystyle \boxed {S=\int\limits^b_a {(f_2(x)-f_1(x))} \, dx }$

a) Построим график y=cos x.

- косинусоида.

б) график    $\displaystyle y=1+\frac{2}{\pi} x$

-линейная функция, график прямая.

Достаточно двух точек:

х = 0;   у = 1;

х = π/2;   у=2.

в) х = π/2

- прямая, параллельная оси 0у.

Определим искомую площадь S.

Имеем:

$\displaystyle f_1(x)=1+\frac{2}{\pi}x ;\\\\f_2(x)=cos\;x;\\\\b=\frac{\pi}{2};\;\;\;a=0.$

Теперь можем найти площадь:

$\displaystyle S=\int\limits^{\frac{\pi}{2} }_0 {(1+\frac{2}{\pi}x-cos\;x)} \, dx =(x+\frac{2x^2}{2\pi} -sin\;x)\big|^{\frac{\pi}{2} }_0=\\\\=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi^2}{\pi\cdot 4}-sin\;\frac{\pi}{2}-0=\frac{3\pi}{4}-1$

Площадь фигуры, ограниченной линиями

$\displaystyle y=cos\;x,\;\;\;y=1+\frac{2}{\pi} x,\;\;\;x=\frac{\pi}{2}.$равна (3π/4 - 1) ед.²

69. Найдем объем тела вращения тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой

y=-x²+4,   0 ≤ x ≤ 2,   x=0

вокруг оси 0х.

Воспользуемся формулой:

$\displaystyle \boxed { V_x=\pi \int\limits^b_a {f(x)^2} \, dx }$

У нас f(x) = -x² + 4;

a = 0;   b = 2.

$\displaystyle V_x=\pi\int\limits^2_0 {(-x^2+4)^2} \, dx =\pi\int\limits^2_0 {(16-8x^2+x^4)} \, dx =\\\\=\pi(16x-8\cdot \frac{x^3}{3} +\frac{x^5}{5} )\bigg|^2_0=\pi(32-\frac{64}{3} +\frac{32}{5})=\pi(32-14\frac{14}{15})=17\frac{1}{15}\pi$

Объем тела вращения тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривой  y=-x²+4,   0 ≤ x ≤ 2,   x=0 вокруг оси 0х равен (17 1/15)π ед³.