Question

Найти интегралы. Помогите

Answer 1

Ответ:

Интеграл вычислен:

$\displaystyle \int\limits {\left(\frac{7\sqrt{x} +3x^3\sqrt{x} }{\sqrt[4]{x} \right)} } \, dx=\frac{28}{5}x\sqrt[4]{x} +\frac{12}{17}x^4\sqrt[4]{x} +C$

Пошаговое объяснение:

Требуется вычислить интеграл.

$\displaystyle \int\limits {\left(\frac{7\sqrt{x} +3x^3\sqrt{x} }{\sqrt[4]{x} \right)} } \, dx$

Упростим подынтегральную функцию.

Представим в виде суммы двух слагаемых:

$\displaystyle \frac{7x^{\frac{1}{2} }+3x^3\cdot x^{\frac{1}{2} }}{x^{\frac{1}{4} }} =\frac{7x^{\frac{1}{2} }}{x^{\frac{1}{4} }} +\frac{3x^{\frac{7}{2} }}{x^{\frac{1}{4} }} =7x^{\frac{1}{4} }+3x^{\frac{13}{4} }$

• Интеграл суммы равен сумме интегралов.

Получим сумму интегралов:

$\displaystyle \int\limits {7x^{\frac{1}{4} }} \, dx +\int\limits {3x^{\frac{13}{4} }} \, dx =\\\\=7\cdot \frac{x^{\frac{1}{4}+1 }}{\frac{1}{4}+1 } +3\cdot \frac{x^{\frac{13}{4}+1 }}{\frac{13}{4}+1 } =7\cdot \frac{4x^{\frac{5}{4} }}{5} +3\cdot \frac{4x^{\frac{17}{4} }}{17}=\\ \\=\frac{28}{5}x\sqrt[4]{x} +\frac{12}{17}x^4\sqrt[4]{x} +C$

Использовали формулу:

$\displaystyle \boxed { \int\limits {x^a} \, dx =\frac{x^{a+1}}{a+1} +C}$