Question

1. Смешав уксус (10-процентный водный раствор уксусной кислоты) с уксусной эссенцией (80- процентный водный раствор уксусной кислоты) и 1 литром воды, получили 20-процентный водный раствор уксусной кислоты. Если бы вместо 1 литра воды добавили 1 литр 30- процентного раствора уксусной кислоты, то получили бы 25-процентный раствор той же кислоты. Сколько литров уксуса использовали?
2. Имеются две ёмкости: в одной находится 4 литра уксуса, во второй - 1 литр уксусной эссенции (и уксус, и укоусная эссенция - это водные растворы уксусной кислоты с разной концентрацией). Если содержимое этих ёмкостей смешать, то получится 24-процентный водный раствор уксусной кислоты. Если же смешать равные массы уксуса и уксусной эссенции, то получится раствор, содержащий 45% уксусной кислоты. Сколько литров уксусной кислоты содержится в первой ёмкости?


Если получилось дробное число, то запиши в виде десятичной дроби.

Answer 1

Ответ:

1) Использовали 4 л уксуса.

2) 0,4 л уксусной кислоты содержится в первой ёмкости.

Пошаговое объяснение:

1. ДАНО:

Пусть х л - уксуса (водного раствора, содержащего 10% уксусной кислоты), и у л - уксусной эссенции (водного раствора, содержащего 80% уксусной кислоты). Тогда 0,1х (л) - объем кислоты в растворе 10-процентного водного раствора, 0,8у (л) - объем кислоты в растворе 80-процентного водного раствора. В воде нет уксусной кислоты, значит количество воды влияет только на объем смеси. То есть объем смеси будет

(х + у + 1) л, а учитывая концентрацию смеси 20%, количество вещества в ней будет (0,2(х + у + 1)) л. Если же вместо 1 л воды добавить 1 л 30% раствора уксусной кислоты, то полученная смесь будет 25% раствором этой кислоты. Запишем эти данные в таблицу:

                     Объем, л      Концентрация, %  Количество вещества, л

1 емкость              х                           10%                               0,1х

2 емкость             у                           80%                              0,8у

Вода                      1                              0                                    0

Раствор(2)            1                             30%                           1 · 0,3 = 0,3

Смесь(1)              х + у + 1                      20%                           0,2(х + у + 1)

Смесь(2)             х + у + 1                      25%                          0,25(х + у + 1)

По таблице составим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{0,1x+0,8y=0,2(x+y+1)} \atop {0,1x+0,8y+0,3=0,25(x+y+1)}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{0,1x+0,8y=0,2x+0,2y+0,2} \atop {0,1x+0,8y+0,3=0,25x+0,25y+0,25}} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{0,6y-0,1x=0,2}| *(-0,3) \atop {0,55y-0,15x=-0,05} |:5} \right.$

$\displaystyle \left \{ {{-0,18y+0,03x=-0,06} \atop {0,11y-0,03x=-0,01}} \right.$

Cложим два уравнения системы:

- 0,07y = - 0,07

y = - 0,07 : (- 0,07)

y = 1

Полученное значение у, подставим в любое уравнение системы, чтобы найти х.

0,6 · 1 - 0,1x = 0,2

0,6 - 0,1x = 0,2

0,1x = 0,6 - 0,2

0,1x = 0,4

x = 0,4 : 0,1

x = 4

Через х мы обозначили объем уксуса. Значит использовали 4 л уксуса.

2) ДАНО:

Пусть х - концентрация уксуса, и у - концентрация уксусной эссенции. Тогда 4х (л) - объем кислоты в первой емкости, у (л) - объем кислоты во второй емкости. То есть объем смеси будет

4 + 1 = 5 (л), а учитывая концентрацию смеси 24%, количество вещества в ней будет  0,24 · 5 = 1,2 (л).  Если же смешать равные массы уксуса и уксусной эссенции, то получится раствор, содержащий 45% уксусной кислоты. Будем считать что масса уксуса равна массе эссенции и равна m (кг). Тогда масса смеси учитывая концентрацию 45% будет 0,45 · 2m = 0,9m. Запишем эти данные в таблицу:

                     Объем, л      Концентрация, %  Количество вещества, л

1 емкость              4                          х%                               4х

2 емкость             1                           у%                              у

Смесь(1)          4 + 1 = 5                    24%                           0,24 · 5 = 1,2

Смесь(2)              2m                       45%                          0,45 · 2m = 0,9m

По таблице составим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{4x+y=1,2} \atop {mx+my=0,9 m}} \right.$

Выпишем уравнение смеси (2):

mx + my = 0,9m

Сократим уравнение на m,

x + y = 0,9

Выразим из уравнения х через у и подставим в первое уравнение системы:

х = 0,9 - у

4(0,9 - у) + у = 1,2

3,6 - 4у + у = 1,2

-3у = 1,2 - 3,6

-3у = -2,4

у = -2,4 : (-3)

у = 0,8

Полученное значение у, подставим в выражение чтобы найти х.

х = 0,9 - 0,8 = 0,1

Получается что концентрация уксуса в первой емкости составляла 10%. Вычислим 10% от 4 л, чтобы узнать объем уксусной кислоты в первой емкости.

4 · 0,1 = 0,4 (л)