Question

Задан правильный тетраэдр SABC. Найдите величину двугранного угла при ребре BC.

Answer 1

Ответ:

Двугранный угол при ребре ВС равен  $arccos \dfrac{1}{3}$.

Объяснение:

Задан правильный тетраэдр SABC . Все ребра тетраэдра равны. Пусть каждое ребро равно 1.

Построим линейный угол двугранного угла при ребре ВС.

Проведем апофему SМ равностороннего Δ BCS

SМ ⊥ ВС . По теореме о трех перпендикулярах  ОМ⊥ ВС.

Тогда ∠ SMO =α - линейный угол двугранного угла при ребре ВС.

Рассмотрим Δ SOM  - прямоугольный.

Найдем стороны этого треугольника. Так как SM - высота равностороннего треугольника , то она определяется по формуле

$h=\dfrac{a\sqrt{3} }{2} ,$ где а - сторона треугольника

$h= \dfrac{1\cdot\sqrt{3} }{2} =\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

$SM= \dfrac{\sqrt{3} }{2}$

Отрезок ОМ равен    $\dfrac{1}{3}$ высоты так как точка О - точка пересечения медиан такого же равностороннего треугольника, а медианы делятся в отношении 2 к 1 , считая от вершины.

Тогда

$OM = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{\sqrt{3} }{6}$

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

$cos \alpha =\dfrac{OM }{SM};\\\\ cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3} }{6} :\dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{\sqrt{3} }{6}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3} \cdot 2}{2\cdot3\cdot \sqrt{3} } =\dfrac{1}{3} .$

$\alpha =arccos \dfrac{1}{3}$