Question

какой вариант правильный?​

Answer 1

Возможно, уже и не надо, но для общего развития оставлю ответ :)

$x^{3}+y^{3} = (x+y)^3 - 3xy(x+y),\; x^{2}+y^{2} = (x+y)^2 - 2xy$. Сделаем замену $x+y = u,\; xy = v$. Заметим, что для всех $x,y$ такие $u,v$ существуют, но не наоборот. Обратное преобразование существует тогда и только тогда (если речь о действительных числах), когда дискриминант трехчлена $t^2-ut + v$ неотрицателен, то есть при $u^2 - 4v\geq 0$. Перепишем условие: $u^2-2v\geq u^3-3uv \Leftrightarrow v(2-3u)\leq u^2-u^3$. Итак, требуется максимизировать $v$ при условии, что $v\leq\dfrac{u^2}{4}$. Если $v> 1$, то $u^2-u^3> 2-3u$ и $u^2\geq 4 \Rightarrow u\geq 2$. Но тогда $u^2(1-u)+3u< 3u-u^2 \leq 2$, противоречие. Значит, $v\leq 1$. Но эта оценка достигается при $x=y=1$.

Ответ: $\max xy = 1$.