Предмет: Алгебра, автор: bb573878

решите неравенство подробно

Приложения:

Ответы

Автор ответа: MrSolution
2

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

x+\sqrt{x^2+4}\ge(2x+1+\sqrt{4x^2+4x+2})\cdot8^{x+1}

Выполним деление обеих частей неравенства на 2:

\dfrac{x}{2}+\sqrt{\dfrac{x^2+4}{4}}\ge(2x+1+\sqrt{4x^2+4x+2})\cdot2^{3x+2}

Немного преобразуем полученное:

\dfrac{x}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+1}\ge(2x+1+\sqrt{\left(2x+1\right)^2+1})\cdot2^{3x+2}

Выполним умножение обеих частей неравенства на 2^x>0 (⇒ знак сохраняем):

\left(\dfrac{x}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+1}\right)\cdot2^{2\cdot\frac{x}{2}}\ge(2x+1+\sqrt{\left(2x+1\right)^2+1})\cdot2^{2(2x+1)}

Замечаем, что обе части неравенства имеют общий вид и записываем:

f(t)=\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\cdot2^{2t}

Эта функция монотонно возрастает.

Тогда верно, что:

f\left(\dfrac{x}{2}\right)\ge f(2x+1),\;\Leftrightarrow\;\dfrac{x}{2}\ge2x+1

Решение этого неравенства очевидно:

x\le-\dfrac{2}{3}

Запишем теперь ответ в виде промежутка:

x\in\left(-\infty;\;-\dfrac{2}{3}\right]

Неравенство решено!

Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: tzgonikovp7svod