Question

Вычислить двойной интеграл, если область интегрирования ограничена следующими линиями, условие на фото

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \iint \limits_Dx^2ydxdy=\boldsymbol {\frac{2}{7} }$

Пошаговое объяснение:

Прежде всего  нам надо расставить пределы интегрирования, чтобы увидеть область интегрирования.

Выполним чертеж.

По чертежу видно, что

0 ≤ у ≤ х²

0 ≤ х ≤ 1

Это мы нашли порядок интегрирования.

Теперь перейдем от двойного интеграла к повторному

$\Large \boldsymbol \displaystyle \iint \limits_Dx^2ydxdy=\int\limits^0_1 {} \, dx \int\limits^{2x^2}_0 {x^2y} \, dy$

Ну, а теперь считаем сначала внутренний интеграл, полагая, что х² константа.

$\Large \boldsymbol {} \displaystyle \int\limits^{2x^2}_0 {x^2y} \, dy=x^2\int\limits^{2x^2}_0 {y} \, dy=x^2*\frac{y^2}{2} \bigg |_0^{2x^2}=x^2*\frac{(2x^2)^2}{2} =2x^6$

Потом внешний интеграл

$\Large \boldsymbol {} \displaystyle 2\int\limits^1_0 {x^6} \, dx =2*\frac{x^7}{7}\bigg |_0^1=\frac{2}{7}$

Это и есть наш ответ