Question

вычислить определенный интеграл

Answer 1

Ответ: 14/3*ln(6/5)-2/3.

Пошаговое объяснение:

Обозначим искомый интеграл через I. По формуле Ньютона-Лейбница, I=F1(1)-F1(0), где F1(x)=∫dx/[7-√(3*x+1)]. Положим 3*x+1=u², тогда x=1/3*(u²-1) и dx=2/3*u*du. Если x=0, то u=√(3*0+1)=1, если x=1, то u=√(3*1+1)=2. Поэтому I=F2(2)-F2(1), где F2(u)=2/3*∫u*du/(7-u). Положим, наконец, 7-u=t, тогда u=7-t и du=-dt. Если u=1, то t=7-1=6, если u=2, то t=7-2=5. Поэтому I=F3(5)-F3(6), где F3(t)=-2/3*∫(7-t)*dt/t=-14/3*∫dt/t+2/3*∫dt=-14/3*ln(t)+2/3*t. Отсюда I=-14/3*ln(5)+10/3+14/3*ln(6)-4=14/3*ln(6/5)-2/3.