Question

Прямая проходит через вершину параллелограмма и делит его площадь в отношении 1:2. В каком отношении эта прямая делит его сторону?

Answer 1

Пусть прямая СЕ проходит через вершину С параллелограмма ABCDE и делит его сторону на отрезки АЕ и ЕD. При этом образуются треугольник ECD и четырехугольник ABCE. Поскольку BC║AE, этот четырехугольник является трапецией.

Пусть АЕ = а, ЕD = b.

Тогда ВС = а + b.

Проведем высоту трапеции к ее основанию a и высоту треугольника к его стороне b.

Эти высоты будут равны, как противоположные стороны образованного прямоугольника.

Чтобы найти площадь треугольника, нужно произведение стороны на высоту, проведенную к ней, разделить пополам.

Значит, $S_{ECD} = \frac{bh}{2}$.

Чтобы найти площадь трапеции, нужно умножить половину суммы ее оснований на высоту.

Значит, $S _{ABCE} = \frac{a+b+a}{2}\cdot h = \frac{h \cdot (2a+b)}{2}$.

По условию, площади относятся как 1:2.

Отсюда, имеем:

$\frac{bh}{2} : \frac{h \cdot (2a+b)}{2} = \frac{1}{2};$

$\frac{bh}{2} \cdot \frac{2}{h \cdot (2a+b)} = \frac{1}{2};$

$\frac{b}{2a+b}=\frac{1}{2}$.

По свойству пропорции, произведение ее крайних членов равно произведению средних:

$2b = 2a + b;$

$b = 2a.$

$\frac{b}{a}=\frac{2}{1}$.

Ответ: прямая делит сторону параллелограмма в отношении 2:1.